En el accidentado tercer trimestre del curso 2019-2020, en clase de Matemáticas, expliqué a mis alumnos que existe una sucesión, (1+1/n)^n, cuyo límite cuando n tiende a infinito es el número “e”, y también que el número “e” es un número irracional, como el número pi.
Era la primera vez que alguien les explicaba esto, así que aproveché para advertirles de que ya no dejarían de encontrarse una y otra vez con el número “e”, y con otros números irracionales, puesto que para la Ciencia en general, y la Física en particular, eran imprescindibles. Tal afirmación sorprendió mucho a un alumno en concreto. Le resultó muy chocante porque… “¿cómo pueden unos números con infinitos decimales y sin periodo alguno ser fundamentales para una ciencia como la Física, que aspira a ser exacta?”
Consideré que era el momento de aclarar una serie de conceptos que suelen estar un tanto olvidados en los planes de estudio. Ahora que tengo un poco más de tiempo, aprovecho para poner por escrito y ampliar lo que dije en su momento en la clase:
Primero:
La Física aspira a ser precisa (1 ), no necesariamente exacta (2). Para conseguirlo, los números irracionales no son un problema. Cuando se realiza la medida de una magnitud, se procura cometer el mínimo error posible (que es, precisamente, lo que significa ser preciso) pero no se pretende necesariamente que el resultado de esa medida represente el valor real de la magnitud (que es lo que significa, en este contexto, ser exacto).
Por ejemplo, supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla que tiene una precisión de milímetros y obtenemos el resultado de la imagen:
Como podemos ver, la longitud de la mesa está comprendida entre 741 mm y 742 mm. Este resultado se puede expresar como 741.5±0.5 mm. Al realizar una medida como ésta, y como tantas otras, no esperamos obtener la longitud exacta de la mesa sino un valor que esté afectado por un margen de error (el ±0.5 mm) lo más pequeño posible.
Puede que os estéis preguntando: ¿Cómo es posible que la Física no pretenda descubrir el valor real de las magnitudes que mide? ¿No es lo que hacemos en clase cuando calculamos la posición o la velocidad de un coche o de un tren?
Respecto a la primera pregunta:
Por una parte, el valor exacto no existe, al menos en la mayor parte de las ocasiones. Hoy en día, se ha asumido que los estados físicos de los sistemas que estudiamos no están asociados necesariamente a un número perfectamente definido; que, al final, a escala atómica y subatómica, siempre habrá una cierta bruma ineludible; y no es que la bruma oculte el número exacto y nos impida acceder a él, es que ni siquiera existe tal número (8).
Por otra parte, todas las medidas llevan asociado inevitablemente un error (3), esto imposibilita dar un valor exacto de la magnitud que se mide. Puede haber algunas excepciones muy concretas; por ejemplo, si queremos contar el número de moléculas contenidas en un sistema pequeño, con paciencia, tal vez podríamos acabar diciendo que hay diez moléculas y no once ni nueve. Pero esto es anecdótico. No hay nada que obligue a que sea necesariamente así y, de hecho, la inmensa mayor parte de las veces, no lo es.
Respecto a la segunda pregunta:
Cuando en clase calculamos la posición de un tren o la tensión de una cuerda estamos obteniendo una descripción de la realidad, pero no hay que confundir esta descripción con la realidad misma.
Para obtener nuestras respuestas, nuestra descripción, utilizamos las leyes de la Física, que se expresan mediante modelos matemáticos. Es decir, en clase lo que hacemos es utilizar modelos matemáticos para obtener una descripción del mundo, y sabemos que los resultados de nuestros cálculos tienen que ver con la realidad porque, al fin y al cabo, los aviones vuelan, las gafas son útiles, las neveras funcionan, etc… pero tenemos que tener claro que no son la realidad misma. Lo que esto significa es que si la calculadora nos está dando la posición del tren con veinte decimales, no tenemos que creer que la posición del tren sea exactamente ese número de veinte decimales que hemos obtenido. Hay que tener cuidado con los decimales.
De hecho, en más de una ocasión, sin necesidad de usar números irracionales, nos hemos topado como respuesta a las típicas preguntas que se resuelven en Bachillerato (¿En qué momento se cruzan los trenes? ¿Cuándo llega el proyectil al punto más alto de su trayectoria? ¿En qué posición cae el paquete lanzado desde el avión? ¿Cuánta energía consume el ascensor? ¿Cuál es el periodo del satélite?) con números de infinitos decimales. A los físicos, ingenieros y matemáticos que trabajan en problemas cotidianos (LHC, LIGO, ALMA, PLANCK, GPS, centrales de producción de energía, redes de comunicación y distribución, motores de barcos, trenes y aviones,...) les ocurre lo mismo. Todos ellos saben que carece de sentido dar una respuesta más allá de cierto número de decimales. El límite lo marca la precisión de nuestros aparatos de medida (no tiene sentido decir que la longitud de la mesa es de 741.637832 mm si hemos medido con una regla como la de la foto), y también la calidad de los datos iniciales. Dar una respuesta con muchos decimales no significa necesariamente conocer mejor el Universo; la mayor parte de los decimales que os proporcionan las supercalculadoras de que disfrutáis hoy en día son artefactos matemáticos sin un significado físico real.
Sin embargo, es cierto que cuando nuestros aparatos de medida mejoran, podemos distinguir con más precisión la posición de los planetas, por ejemplo. Es decir: podemos dar su posición con más decimales; y si descubrimos que no coinciden con los que preveían los modelos entonces intentaremos cambiar el modelo para que describa aún mejor el Universo. Ha ocurrido constantemente a lo largo de los últimos siglos en la historia de la Humanidad; al menos, desde que fue importante hacer experimentos y cuantificar los resultados.
Se podría equiparar a los físicos, y a los científicos en general, con cartógrafos que intentan dibujar un mapa del Universo. Es natural querer tener el mejor mapa posible, el más ajustado a la realidad. Un buen mapa evita que nos caigamos por un barranco o pisemos una trampa, por eso cada día que pasa se esfuerzan en hacerlo cada vez más detallado (más preciso).
Esta labor cartográfica puede parecer sencilla gracias a nuestros sentidos. Al fin y al cabo, sin que nosotros tengamos que esforzarnos, es lo que hacen constantemente nuestra visión, oído, tacto, sabor y olfato: trazar un mapa de nuestro entorno que garantice nuestra supervivencia (me voy por la derecha que por la izquierda hay una serpiente, por ejemplo; o bien: me voy de aquí que huele a podrido y eso no puede ser bueno). Lamentablemente, nuestros sentidos distan mucho de ser perfectos. Si no hubiéramos utilizado aparatos externos a nosotros mismos (microscopio, telescopio, etc…), y si no hubiéramos aprendido a razonar sobre los datos que nos ofrecían estas extensiones de nosotros mismos, no habríamos descubierto nunca las células, las bacterias, los átomos ni las estrellas de neutrones. Descubrir todas estas cosas sí requiere un esfuerzo consciente, y una disciplina casi espartana. A cambio, disponemos del mejor mapa de la realidad que jamás haya poseído la Humanidad, y, gracias a ello, podemos disfrutar en nuestras casas de agua corriente y potable, pan relativamente barato y, por si fuera poco, sabemos que lo que está ocurriendo en el mundo es debido a un virus y no a una maldición divina.
Lo que hacemos en clase, por lo tanto, son mapas. O mejor dicho, intento enseñaros a razonar para que hagáis mapas lo más precisos posibles de la realidad. Es decir, intento convertiros en buenos cartógrafos.
Segundo:
y más importante aún, la Física aspira a estudiar y determinar las relaciones que se dan en el Universo, más que a caracterizar un estado con un número exacto, cosa que, tal y como he explicado en el primer punto, sabemos hoy en día que no es necesariamente posible.
Lo realmente catastrófico para la Física, y para la Ciencia en general, sería que las cosas sucedieran de una forma arbitraria. Al parecer, a juzgar por nuestras observaciones, no es así como ocurre el Universo: no es arbitrario, hay una regularidad. Si salimos por la ventana, en lugar de por la puerta, caeremos a tal velocidad que es altamente probable que nos hagamos mucho daño, sobre todo si vivimos en un quinto. Los eclipses son previsibles, las estaciones también.
Es más, vemos que la presión, el volumen y la temperatura de un gas, por ejemplo, son magnitudes relacionadas entre sí y que el comportamiento del gas obedece a esta relación: que la presión, por ejemplo, no es indiferente a lo que hagan el volumen o la temperatura. Además, vemos que esa relación es lógica, coherente consigo misma: mediremos siempre la misma presión en un gas situado siempre al mismo volumen y temperatura; de la misma forma, unas gafas que funcionan bien hoy, seguirán siendo útiles mañana.
Es decir: en el sistema parece que operan unas reglas, y el sistema parece ser fiel a ellas. Estas relaciones lógicas implican la aparición de patrones (por ejemplo, las fases de la Luna). Nuestro cerebro está continuamente intentando descubrir patrones en el mundo; es muy bueno relacionando cosas; demasiado, a veces. Es tarea del pensamiento científico descubrir qué patrones existen realmente y son relevantes (órbitas periódicas de los planetas), y qué relaciones lógicas revelan, y cuáles ni siquiera existen o son irrelevantes (astrología, pareidolías, correlaciones espurias (5) ).
Si el cerebro humano, tal como lo conocemos hoy en día, llegará o no a ser capaz de comprender en su totalidad las relaciones lógicas en las que se basa el Universo es un tema abierto, pero teniendo en cuenta los logros alcanzados parecería precipitado tirar ya la toalla; y, al mismo tiempo, contemplando los retos que aún tenemos por delante, tal vez un poco prematuro e inocente dejarse llevar por la euforia.
Para acabar, me gustaría hacer un comentario sobre la relación entre la Física, y todas las ciencias en general, y las Matemáticas. La vinculación profunda entre las Matemáticas y el mundo natural no es que podamos describir éste con números (cinco dedos, tres vacas…) sino que podemos describir las relaciones lógicas que descubrimos en el mundo natural mediante las Matemáticas. Esta vinculación entre mundo natural y mundo matemático es hermosa y nos llama la atención, nos parece algo valioso (y desde luego lo es, si queremos vivir como humanos y no como meros animales), incluso nos sorprende, pero no es casualidad.
En la entrevista a Rudolf Carnap que os pasé (y que enlazo al final de esta respuesta (6) , el filósofo de la Ciencia explicaba que las Matemáticas se pueden reducir a un conjunto de relaciones lógicas, tal y como habían mostrado Gottlob Frege y Bertrand Russell a finales del siglo XIX y principios del XX, respectivamente. Si tanto el mundo natural como el matemático se fundamentan en la lógica, no es de extrañar que podamos emplear éste para explorar aquél. De hecho, la vinculación entre Matemáticas y mundo natural se ha mostrado más fiable que muchas de nuestras ideas intuitivas sobre el espacio en el que vivimos.
En conclusión:
Si la importancia de los números irracionales para la Física os ha sorprendido, ya veréis vuestra sorpresa cuando descubráis los números complejos, que sin ni siquiera “existir” (razón por la que se les llama también número imaginarios) son absolutamente imprescindibles.
La historia reciente de la Física nos invita a reflexionar sobre la naturaleza última de la realidad: más que una serie de magnitudes asociadas a números exactos, da la impresión de que la sustancia última de la realidad tenga más que ver con relaciones lógicas entre las magnitudes físicas que en ella se manifiestan. Sin embargo, no es el momento de tirar de este hilo...
El que os parezca escandaloso que no se pueda describir con un número exacto el estado de los sistemas que estudiamos indica que, en cierta medida, en este momento de vuestro aprendizaje, sois herederos de los filósofos de la escuela pitagórica, para quienes la esencia de todas las cosas (la realidad última) eran los números, y el hecho de que haya números inconmensurables, los irracionales, les supuso un verdadero trauma cuando lo descubrieron hace 2500 años. Para ellos, el que existieran números como los irracionales era casi como poner en peligro la existencia misma de la realidad.
A la Humanidad le ha llevado mucho tiempo comprender que estos números no son una amenaza para la existencia de un orden en el Cosmos, como también nos ha llevado mucho tiempo entender que el que no se pueda asociar un número exacto a un estado físico no significa que no exista la realidad.
El descubridor de los números irracionales, Hipaso de Metaponto (7), desapareció durante un viaje en barco; se supone que murió ahogado. Cuenta la leyenda que, en realidad, fueron sus propios condiscípulos pitagóricos los que le arrojaron por la borda, al no poder soportar la verdad que les había revelado.
Espero que los milenios transcurridos hayan dotado de más recursos a los seres humanos y vuestra gestión emocional sea mejor que la de los pitagóricos, sobre todo porque no me gustaría que me arrojarais al asfalto justo en el momento en que pasa un autobús urbano de Barcelona que, como todo el mundo sabe, son mucho más peligrosos que las sirenas del mar Jónico.
NOTAS:
(1) preciso/a 3. adj. Dicho de un instrumento de medida: Que permite medir magnitudes con un error mínimo. Este instrumento es muy preciso: mide milésimas de milímetro.
(2) exacto/a adj. Dicho de un instrumento de medida: que mide el valor real de una magnitud, sin defecto ni exceso.
(La primera definición es del Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia, la segunda es una elaboración propia)
(3) En el acto de medir, los errores son compañeros a los que no podemos dejar atrás. No importa lo bien que planteemos la medida: siempre llevará asociado un cierto grado de imprecisión. Esto hace que sea fundamental saber trazar y cuantificar los errores si queremos interpretar correctamente los resultados. Saber trabajar con los errores es imprescindible para saber si se puede extraer conocimiento de los resultados obtenidos.
(5) http://www.tylervigen.com/spurious-correlations
(6) Rudolf Carnap: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/carnap.htm
Entrevista (recordad que hay disponibles subtítulos):
